Problem #1. How can we write P_n as a product of k positive integers as to minimize their sum?

Problem #2. How can we write P_n as a ratio of factorials a₁! ··· a_j! / b₁! ··· b_k! as to minimize the sum Σ a_i + Σ b_i of the numbers used?

Problem #3. What is the largest palindromic factor of P_n?

Problem #1.

The best known solutions are shown below.

n \ k	2	3	4
2	2·3
3	5·6	2·3·5
4	14·15	5·6·7	2·3·5·7
5	42·55	11·14·15	5·6·7·11
6	165·182	26·33·35	11·13·14·15
7	714·715	77·78·85	17·26·33·35
8	3094·3135	209·210·221	38·51·65·77
9	14858·15015	595·598·627	114·115·119·143
10	79534·81345	1771·1885·1938	255·266·299·319 253·273·290·323 (JD)
11	447051·448630	5642·5865·6061 5681·5797·6090 (JD)	663·665·667·682
12	2714690·2733549	19285·19499·19734	1547·1653·1702·1705 1581·1595·1702·1729 (JD)
13	17395070·17490603	65527·67773·68510 66215·66526·69069 (JD)	4123·4147·4182·4255
14	114371070·114388729	235135·235382·236379	10619·10621·10695·10846
15	783152070·785147363	848003·848470·854601	27417·27962·27965·28681
16	5708587335·5708795638	3185331·3191342·3205865	74777·75361·76038·76055
17	43848093003·43850489690	12427387·12436905·12440362	207389·209346·209627·211265 208034·208131·210197·211265 (JD)
18	342444658094·342503171205	48892415·48964209·48993082	582521·584749·585858·587735 583338·583451·586339·587735 (JD)
19	2803119896185·2803419704514	198654665·198867819·198914534	1671461·1672923·1675895·1676914
20	23619540863730·23622001517543	822802210·823456751·823477809	4855051·4859994·4860505·4864937
21	201813981102615·201817933409378 (JD)	3439818590·3440510367·3441538199 (JD)	14177401·14187435·14228357·14231666 (JD)
22	1793779293633437· 1793779635410490 (JP)	14760901545· 14764086722· 14764495937 (JP)	42312479· 42329845· 42371327· 42398538 (JP)
23	16342050964565645· 16342166369958702 (JP)	64395106531· 64396600554· 64402152085 (JP)	127716061· 127815945· 127886317· 127926806 (JP)
24	154170926013430326· 154171363634898185 (JP)	287510512978· 287515496485· 287535325407 (JP)	392579957· 392599190· 392654027· 392752191 (JP)
25	1518409177581024365· 1518410187442699518 (JP)	1321040331310· 1321053487611· 1321117514527 (JP)	1232056113· 1232133266· 1232345405· 1232415943 (JP)
26	15259825120722837478· 15259831781575946565 (JP)	6152118202714· 6152283617385· 6152311036963 (JP)	3905885951· 3906450065· 3906457914· 3906738277 (JP)
27	154870329715038713659· 154870358790203939190 (JP)	28838629412905· 28839046111953· 28839054633794 (JP)	12442617557· 12445176145· 12445467951· 12445504214 (JP)
28	1601991088154989174258· 1601991507050573600715 (JP)	136910623022555· 136911506585854· 136912534109751 (JP)	40020828198· 40024802239· 40026264145· 40027639663 (JP)
29	16725278985898957454695· 16725281357261594271714 (JP)	654006091489961· 654007088607990· 654007237018157 (JP)	129321763571· 129323808095· 129327682403· 129331765218 (JP)
30	177792163538134124432895· 177792170427340904920562 (JP)	3161847646225658· 3161854114512095· 3161858853009549 (JP)	421634654870· 421656389051· 421659275007· 421666019761 (JP)

n \ k	5	6	7
5	2·3·5·7·11
6	5·6·7·11·13	2·3·5·7·11·13
7	11·13·14·15·17	5·6·7·11·13·17	2·3·5·7·11·13·17
8	17·19·26·33·35	11·13·14·15·17·19	5·6·7·11·13·17·19
9	23·38·51·65·77	17·19·23·26·33·35	11·13·14·15·17·19·23
10	58·69·95·119·143	23·29·38·51·65·77	17·19·23·26·29·33·35
11	155·161·174·209·221	31·58·69·95·119·143	23·29·31·38·51·65·77
12	341·370·377·391·399	74·93·145·161·209·221	31·37·58·69·95·119·143
13	715·777·779·782·899	205·217·222·299·319·323	41·74·93·145·161·209·221
14	1547·1653·1702·1705·1763 1581·1595·1702·1729·1763 (JD)	437·465·473·493·518·533	86·123·185·217·299·319·323
15	3478·3553·3565·3731·3741	893·899·903·935·943·962	235·258·287·403·407·437·493
16	7473·7843·8170·8177·8323	1739·1763·1767·1771·1802·1885	583·589·602·611·615·629·667
17	17759·17917·18073·18241·18330	3127·3478·3553·3565·3731·3741	1003·1045·1081·1113·1118·1147·1189 (JP)
18	40579·40687·41287·41366·41595	6601·6837·6919·7163·7198·7285	1769·1829·2014·2021·2035·2091·2093 (JP)
19	93869·94658·95381·96145·96441 (JD)	13601·13674·13981·14335·14467·14573 (JP)	3478·3551·3553·3565·3599·3731·3741 (JP)
20	222547·223138·223445·224147·224331 (JD)	28249·28294·28365·28897·29087·29279 (JP)	4757·6601·6837·6919·7163·7198·7285 (JP)
21	524117· 526870· 527137· 528027· 529907 (JP)	57523· 58007· 58327· 58830· 59059· 60233 (JP)	10366· 12261· 12341· 12455· 12617· 12673· 13039 (JP)
22	1255990· 1260181· 1266449· 1266769· 1267167 (JP)	120734· 120745· 121107· 121481· 121693· 123281 (JP)	22265· 22578· 22607· 22673· 22847· 23069· 23693 (JP)
23	3051381· 3056053· 3056510· 3059297· 3062749 (JP)	252343· 253394· 253399· 254301· 254405· 254771 (JP)	42107· 42143· 42911· 43070· 43239· 43301· 43493 (JP)
24	7489873· 7495631· 7497805· 7508002· 7520817 (JP)	533281· 535866· 536015· 536129· 536731· 539251 (JP)	80934· 81055· 81257· 81437· 81673· 81833· 81923 (JP)
25	18706015· 18709243· 18740819· 18741701· 18756114 (JP)	1144891· 1147715· 1148581· 1149969· 1152346· 1152787 (JP)	154919· 155701· 156655· 156907· 156953· 156981· 157826 (JP)
26	47097337· 47116949· 47137515· 47162758· 47201947 (JP)	2469955· 2475149· 2477261· 2479711· 2488838· 2491377 (JP)	301701· 301903· 302105· 302731· 302867· 303707· 303902 (JP)
27	119048682· 119102533· 119112805· 119165147· 119174471 (JP)	5363547· 5364973· 5369045· 5370829· 5375422· 5377321 (JP)	583573· 585466· 586339· 586993· 587735· 588729· 589469 (JP)
28	303209555· 303225937· 303295031· 303346742· 303393621 (JP)	11689139· 11693443· 11693487· 11701355· 11703826· 11724311 (JP)	1139467· 1140005· 1144891· 1145443· 1145542· 1146251· 1147317 (JP)
29	774767161· 774992291· 775159495· 775200578· 775305843 (JP)	25557485· 25559933· 25571431· 25574494· 25586333· 25591683 (JP)	2230709· 2233579· 2235937· 2236645· 2236926· 2238751· 2241757 (JP)
30	1994810095· 1994903339· 1995040999· 1995110259· 1995644158 (JP)	56197006· 56203997· 56225113· 56232605· 56244959· 56278527 (JP)	4386238· 4387795· 4389569· 4391783· 4396717· 4397379· 4406579 (JP)

Problem #2.

In 2025, Woohyun Rim had a breakthrough. The best known solutions are shown below.

n	Ratio	Author
1	2!	Trivial
2	3!	Trivial
3	5! / 2! 2!	Erich Friedman
4	7! / 4!	Erich Friedman
5	11! / 6! 4!	Erich Friedman
6	13! / 6! 4! 3! 2!	Erich Friedman
7	17! / 8! 6! 4!	Erich Friedman
8	19! / 9! 6! 4! 2! 19! / 10! 4! 4! 3!	Erich Friedman Woohyun Rim
9	23! / 12! 8! 3!	Joe DeVincentis
10	29! / 14! 10! 6! 3! 29! / 15! 9! 5! 4!	Joe DeVincentis
11	31! / 15! 9! 6! 5! 31! 2! / 13! 10! 10!	Joe DeVincentis Woohyun Rim
12	37! / 18! 11! 10! 2!	Joe DeVincentis
13	41! / 20! 13! 10! 2!	Jon Palin
14	43! / 21! 16! 6! 3!	Jon Palin
15	47! / 27! 12! 8! 2! 47! / 28! 12! 5! 4!	Jon Palin Woohyun Rim
16	53! / 28! 17! 7! 5! 2!	Jon Palin
17	59! / 29! 22! 10! 2! 59! / 30! 22! 8! 3!	Jon Palin Woohyun Rim
18	61! / 29! 22! 10! 5!	Jon Palin
19	67! 2! / 33! 21! 16!	Woohyun Rim
20	71! / 35! 28! 8! 3! 2!	Jon Palin
21	73! / 36! 28! 8! 4!	Jon Palin
22	79! / 39! 25! 14! 7! 2!	Jon Palin
23	83! / 42! 28! 12! 6!	Jon Palin
24	89! 13! / 44! 30! 18! 12! 2!	Woohyun Rim
25	97! / 47! 32! 19! 7! 97! / 47! 32! 21! 3! 2!	Alex Rower Woohyun Rim
26	101! 2! / 50! 33! 21! 3!	Woohyun Rim
27	103! / 51! 33! 21! 3!	Woohyun Rim
28	107! 2! / 56! 32! 21!	Woohyun Rim
29	109! / 54! 33! 21! 7!	Woohyun Rim
30	113! / 56! 38! 14! 10! 3!	Woohyun Rim
31	127! 20! 2! 2! 2! / 63! 41! 25! 17! 11!	Woohyun Rim
32	131! 3! / 62! 46! 17! 15! 5!	Woohyun Rim
33	137! 2! / 70! 45! 20! 11!	Woohyun Rim
34	139! / 69! 45! 25! 7! 3!	Woohyun Rim
35	149! 25! / 77! 52! 29! 12! 11! 2!	Woohyun Rim
36	151! 23! 2! / 77! 52! 29! 12! 11!	Woohyun Rim
37	157! 23! 2! / 78! 51! 33! 22!	Woohyun Rim
38	163! 13! 3! / 81! 56! 33! 9!	Woohyun Rim
39	167! 13! / 83! 56! 33! 11!	Woohyun Rim
40	173! 10! 2! / 86! 57! 32! 13!	Woohyun Rim
41	179! 3! 3! 3! / 93! 60! 22! 13! 5!	Woohyun Rim
42	181! 4! 3! / 93! 60! 22! 13! 5! 5!	Woohyun Rim
43	191! 32! 3! / 95! 66! 37! 28! 5!	Woohyun Rim
44	193! 31! / 95! 66! 37! 28! 5!	Woohyun Rim
45	197! 32! 2! 2! / 98! 65! 37! 26! 13!	Woohyun Rim
46	199! 32! 2! / 99! 65! 37! 26! 13!	Woohyun Rim
47	211! 36! 6! 4! / 105! 69! 41! 29! 11! 11!	Woohyun Rim
48	223! 9! 3! 2! / 111! 73! 43! 13!	Woohyun Rim
49	227! 9! 4! 2! 2! 2! / 113! 73! 43! 13! 5! 5!	Woohyun Rim
50	229! 9! 4! 2! 2! / 114! 73! 43! 13! 5! 5!	Woohyun Rim
51	233! 4! 3! 3! 3! / 116! 73! 45! 13!	Woohyun Rim
52	239! 37! 23! / 121! 81! 52! 36! 8!	Woohyun Rim
53	241! 37! 23! / 121! 81! 51! 32! 17! 2!	Woohyun Rim
54	251! 46! 18! 6! 2! / 125! 86! 47! 31! 19! 14! 13!	Woohyun Rim
55	257! 43! 6! 3! 2! / 130! 84! 47! 35! 19!	Woohyun Rim
56	263! 43! 4! 3! / 131! 87! 49! 39! 13!	Woohyun Rim
57	269! 43! 17! / 134! 91! 56! 40! 7! 4! 4!	Woohyun Rim
58	271! 43! 17! / 135! 91! 56! 40! 8! 4! 3!	Woohyun Rim
59	277! 43! 17! / 137! 92! 56! 40! 15! 2! 2!	Woohyun Rim
60	281! 51! 3! / 140! 95! 56! 37! 15!	Woohyun Rim
61	283! 51! 3! / 141! 95! 56! 37! 15! 2!	Woohyun Rim
62	293! 47! 14! / 146! 99! 55! 41! 17!	Woohyun Rim
63	307! 50! 33! 5! / 151! 102! 62! 46! 26! 18!	Woohyun Rim
64	311! 58! 8! 3! 2! / 154! 106! 62! 46! 18!	Woohyun Rim
65	313! 58! 7! 5! / 156! 106! 61! 46! 18!	Woohyun Rim
66	317! 58! 6! / 159! 105! 61! 46! 18!	Woohyun Rim
67	331! 53! 9! 7! / 165! 109! 61! 52! 17!	Woohyun Rim
68	337! 53! 33! / 167! 111! 68! 52! 29! 5! 2! 2!	Woohyun Rim
69	347! 53! 4! 2! / 173! 113! 70! 52!	Woohyun Rim
70	349! 53! 4! / 174! 113! 70! 52!	Woohyun Rim
71	353! 60! 2! / 175! 121! 67! 52! 9!	Woohyun Rim
72	359! 56! 5! 4! 2! 2! 2! 2! / 179! 113! 71! 52! 18!	Woohyun Rim
73	367! 54! 8! 8! 3! 2! / 183! 114! 73! 52! 22!	Woohyun Rim
74	373! 30! 6! 5! 4! 2! / 183! 115! 73! 41! 11!	Woohyun Rim
75	379! 40! 24! 4! 4! 4! 2! / 188! 117! 73! 41! 22! 22!	Woohyun Rim
76	383! 63! 24! 18! 3! 2! / 191! 127! 73! 58! 19! 19! 14!	Woohyun Rim
77	389! 62! 24! 18! 2! / 195! 129! 73! 58! 22! 22!	Woohyun Rim
78	397! 67! 38! / 198! 136! 79! 58! 35! 3! 2!	Woohyun Rim
79	401! 67! 37! 2! 2! / 199! 136! 80! 58! 35! 7!	Woohyun Rim
80	409! 61! 16! 2! 2! 2! / 204! 133! 81! 58! 17!	Woohyun Rim
81	419! 69! 41! 30! 10! / 209! 140! 83! 59! 39! 31! 17!	Woohyun Rim
82	421! 69! 41! 30! 6! 3! / 209! 139! 85! 59! 40! 31! 14!	Woohyun Rim
83	431! 72! 41! 6! / 215! 143! 85! 62! 39! 17!	Woohyun Rim
84	433! 72! 42! / 214! 143! 86! 63! 39! 17!	Woohyun Rim
85	439! 72! 45! 3! 3! / 219! 143! 87! 62! 39! 23!	Woohyun Rim
86	443! 73! 45! 6! 2! / 221! 147! 86! 62! 39! 23!	Woohyun Rim
87	449! 73! 45! 3! 3! 3! 3! / 223! 149! 93! 62! 23! 21! 19!	Woohyun Rim
88	457! 74! 43! 30! 3! 2! / 228! 154! 92! 65! 42! 28!	Woohyun Rim
89	461! 75! 43! 33! / 231! 153! 93! 63! 41! 26! 17!	Woohyun Rim
90	463! 75! 44! 29! 4! / 231! 156! 92! 61! 42! 23! 18!	Woohyun Rim
91	467! 74! 44! 30! / 233! 156! 92! 63! 41! 23! 17! 3!	Woohyun Rim
92	479! 81! 32! 17! 2! / 239! 159! 93! 67! 25! 21! 20!	Woohyun Rim
93	487! 79! 47! 33! 32! / 242! 162! 100! 67! 46! 39! 27!	Woohyun Rim
94	491! 79! 48! 34! 31! / 245! 163! 100! 68! 46! 39! 26!	Woohyun Rim
95	499! 82! 48! 31! 2! / 247! 166! 97! 71! 45! 39! 7!	Woohyun Rim
96	503! 83! 49! 31! 31! 2! / 252! 167! 100! 71! 43! 39! 30!	Woohyun Rim
97	509! 83! 49! 32! 31! / 254! 169! 101! 72! 43! 40! 30!	Woohyun Rim
98	521! 87! 31! / 261! 175! 103! 78! 19! 13!	Woohyun Rim
99	523! 86! 31! / 261! 175! 103! 78! 19! 13! 3!	Woohyun Rim
100	541! 89! 57! 32! 6! 4! 2! / 270! 179! 107! 73! 47! 42! 23!	Woohyun Rim
101	547! 90! 57! 32! 10! 3! / 271! 182! 109! 73! 51! 41! 23!	Woohyun Rim
102	557! 93! 54! 13! 12! / 278! 187! 109! 82! 49! 29!	Woohyun Rim
103	563! 96! 56! 15! 10! 3! / 282! 184! 109! 79! 51! 44!	Woohyun Rim
104	569! 90! 53! 42! 5! 2! / 290! 184! 113! 81! 51! 43! 3!	Woohyun Rim
105	571! 90! 53! 42! 2! / 289! 183! 116! 81! 51! 43!	Woohyun Rim
106	577! 89! 53! 39! 38! / 289! 191! 116! 79! 46! 43! 29! 17!	Woohyun Rim
107	587! 97! 38! 10! 6! / 293! 195! 115! 87! 32! 23!	Woohyun Rim
108	593! 100! 18! 10! / 295! 198! 115! 86! 32! 2! 2!	Woohyun Rim
109	599! 100! 37! 15! 6! 3! / 299! 199! 115! 86! 35! 31! 2!	Woohyun Rim
110	601! 99! 37! 15! 6! / 299! 199! 115! 86! 35! 31! 2!	Woohyun Rim
111	607! 97! 37! 15! 10! 5! / 303! 201! 115! 86! 34! 33!	Woohyun Rim
112	613! 101! 43! 37! 10! 6! 6! / 305! 204! 114! 86! 47! 34! 31!	Woohyun Rim
113	617! 103! 38! 37! 10! 6! 2! / 310! 204! 116! 85! 47! 34! 22!	Woohyun Rim
114	619! 103! 43! 37! 5! 2! 2! / 310! 209! 114! 88! 52! 36!	Woohyun Rim
115	631! 101! 9! 4! 4! 2! 2! / 314! 205! 115! 95! 23! 11!	Woohyun Rim
116	641! 103! 63! 41! 3! 3! / 317! 213! 127! 95! 58! 38! 17!	Woohyun Rim
117	643! 103! 63! 41! 3! / 319! 214! 127! 95! 52! 38! 21!	Woohyun Rim
118	647! 103! 64! 41! 6! / 323! 213! 130! 95! 51! 38! 21!	Woohyun Rim
119	653! 108! 61! 41! 30! 4! 3! / 326! 215! 127! 94! 59! 40! 28! 21!	Woohyun Rim
120	659! 109! 61! 44! 4! 2! / 329! 222! 133! 94! 59! 25! 21! 7!	Woohyun Rim
121	661! 109! 61! 44! 4! / 330! 222! 133! 94! 59! 25! 21! 7!	Woohyun Rim
122	673! 109! 45! 4! 4! 3! 2! / 334! 224! 136! 95! 29! 23! 7!	Woohyun Rim
123	677! 109! 44! 13! 2! 2! 2! / 338! 223! 133! 95! 30! 23! 17!	Woohyun Rim
124	683! 113! 44! 9! 4! / 340! 227! 133! 99! 37! 23!	Woohyun Rim
125	691! 125! 67! 48! 19! 4! 3! / 341! 231! 138! 99! 65! 61! 26!	Woohyun Rim
126	701! 116! 67! 48! 43! / 352! 233! 139! 100! 61! 53! 42! 2!	Woohyun Rim
127	709! 116! 68! 46! 43! 31! 3! / 354! 233! 139! 101! 61! 53! 42! 39!	Woohyun Rim
128	719! 120! 68! 51! 43! 32! 12! / 359! 239! 139! 101! 65! 53! 41! 37! 23!	Woohyun Rim
129	727! 120! 68! 43! 18! 6! / 364! 241! 139! 106! 61! 41! 37!	Woohyun Rim
130	733! 113! 70! 22! 2! / 366! 245! 139! 106! 53! 38! 3!	Woohyun Rim
131	739! 120! 5! 5! 2! 2! 2! 2! 2! / 371! 241! 139! 103! 29!	Woohyun Rim
132	743! 124! 21! 6! 2! / 371! 247! 139! 106! 38!	Woohyun Rim
133	751! 124! 73! 48! 15! 2! / 374! 250! 150! 108! 69! 46! 23!	Woohyun Rim
134	757! 125! 73! 14! 2! 2! 2! / 374! 251! 151! 107! 69! 30!	Woohyun Rim
135	761! 125! 73! 49! 13! / 380! 253! 151! 107! 69! 46! 24!	Woohyun Rim
136	769! 127! 73! 58! 47! 12! / 384! 255! 151! 109! 69! 59! 46! 23! 2!	Woohyun Rim
137	773! 128! 73! 58! 47! 11! / 386! 257! 151! 109! 69! 59! 46! 23!	Woohyun Rim
138	787! 129! 79! 56! 47! 34! / 393! 257! 158! 111! 71! 60! 46! 46!	Woohyun Rim
139	797! 132! 77! 47! 35! / 398! 266! 157! 126! 72! 46! 26! 6!	Woohyun Rim
140	809! 134! 38! 11! 11! / 404! 270! 157! 125! 24! 24! 7!	Woohyun Rim
141	811! 134! 39! 11! 11! / 405! 270! 157! 124! 28! 25! 2! 2!	Woohyun Rim
142	821! 136! 82! 58! 37! 12! 4! 4! 4! / 410! 271! 163! 123! 73! 47! 43! 20! 20!	Woohyun Rim
143	823! 136! 81! 58! 37! 12! 4! 4! 2! 2! 2! / 411! 271! 163! 122! 73! 47! 43! 20! 20!	Woohyun Rim
144	827! 136! 79! 58! 37! 9! 4! 4! 4! 4! 3! 3! / 413! 271! 163! 122! 73! 47! 43! 20! 20!	Woohyun Rim
145	829! 136! 84! 58! 37! 4! 4! 4! 4! 3! / 415! 271! 164! 122! 73! 47! 43! 20! 19!	Woohyun Rim
146	839! 137! 83! 56! 29! 2! 2! / 420! 277! 172! 126! 73! 47! 21! 21!	Woohyun Rim
147	853! 139! 84! 16! 3! / 422! 284! 172! 123! 75! 29!	Woohyun Rim
148	857! 144! 83! 56! 5! / 428! 287! 172! 122! 75! 47! 29!	Woohyun Rim
149	859! 144! 83! 56! 2! / 430! 287! 171! 122! 74! 47! 29!	Woohyun Rim
150	863! 144! 83! 55! 5! / 431! 287! 172! 123! 75! 47! 29!	Woohyun Rim
151	877! 145! 85! 64! 53! 2! 2! 2! / 438! 291! 175! 123! 80! 70! 52! 10!	Woohyun Rim
152	881! 146! 84! 64! 53! / 439! 293! 175! 123! 80! 69! 50! 15! 2!	Woohyun Rim
153	883! 146! 84! 62! 53! 2! / 439! 293! 175! 123! 79! 70! 50! 15!	Woohyun Rim
154	887! 149! 83! 62! 55! 4! / 443! 300! 175! 123! 81! 68! 50! 5!	Woohyun Rim
155	907! 146! 90! 66! 42! 24! 16! 5! / 453! 293! 181! 129! 79! 68! 47! 29! 29!	Woohyun Rim
156	911! 151! 92! 66! 66! 37! 24! 6! 2! / 454! 303! 188! 129! 79! 68! 58! 31! 29! 29!	Woohyun Rim
157	919! 151! 92! 60! 43! 13! 3! / 459! 303! 188! 134! 87! 58! 30! 29!	Woohyun Rim
158	929! 154! 89! 70! 63! 46! 18! / 464! 309! 188! 135! 87! 71! 58! 37! 29!	Woohyun Rim
159	937! 151! 92! 68! 65! 46! 10! / 470! 311! 185! 131! 88! 71! 58! 39! 29!	Woohyun Rim
160	941! 156! 92! 68! 64! 46! 6! 2! / 470! 313! 188! 134! 87! 71! 58! 38! 29!	Woohyun Rim
161	947! 156! 93! 65! 45! 17! 5! 4! / 471! 313! 182! 133! 87! 71! 47! 37!	Woohyun Rim
162	953! 159! 90! 67! 43! 10! 3! / 471! 317! 181! 136! 87! 79! 58! 2!	Woohyun Rim
163	967! 162! 90! 67! 61! 26! 19! 4! 4! 4! 2! / 483! 321! 193! 137! 83! 73! 58! 31! 29!	Woohyun Rim
164	971! 160! 92! 67! 61! 27! 12! 9! 4! 4! / 485! 321! 193! 137! 83! 73! 58! 31! 29!	Woohyun Rim
165	977! 158! 92! 60! 6! 6! 3! 3! 3! 3! 3! 3! / 487! 325! 193! 147! 87! 41! 31! 2!	Woohyun Rim
166	983! 163! 61! 48! 20! / 496! 327! 193! 148! 57! 31! 25! 7!	Woohyun Rim
167	991! 163! 97! 61! 14! 13! 6! / 491! 328! 198! 146! 95! 58! 31!	Woohyun Rim
168	997! 165! 97! 61! 17! 13! 13! / 498! 331! 200! 146! 93! 57! 32! 6! 2!	Woohyun Rim
169	1009! 165! 102! 61! 47! 29! 14! 11! / 506! 331! 201! 147! 93! 60! 57! 38! 6! 3!	Woohyun Rim
170	1013! 167! 99! 61! 52! 30! 13! 12! / 506! 337! 199! 146! 93! 59! 57! 31! 25!	Woohyun Rim
171	1019! 172! 99! 61! 52! 11! 2! 2! 2! / 513! 345! 200! 145! 93! 60! 58!	Woohyun Rim
172	1021! 172! 99! 61! 49! 13! 2! 2! / 513! 345! 199! 145! 93! 60! 58! 5!	Woohyun Rim
173	1031! 170! 97! 78! 61! 48! 18! 15! 3! / 515! 343! 200! 146! 93! 82! 59! 53! 32!	Woohyun Rim
174	1033! 171! 99! 75! 61! 52! 14! 13! 3! / 515! 344! 200! 147! 93! 82! 59! 53! 31!	Woohyun Rim
175	1039! 172! 99! 78! 26! 13! 3! 3! / 515! 346! 199! 146! 93! 79! 57!	Woohyun Rim
176	1049! 174! 97! 75! 49! 37! 14! 13! 13! / 524! 349! 200! 149! 93! 82! 57! 34! 32!	Woohyun Rim
177	1051! 174! 97! 74! 49! 37! 13! 13! 13! / 524! 349! 200! 149! 93! 82! 57! 34! 32!	Woohyun Rim
178	1061! 176! 104! 77! 67! 37! / 530! 353! 212! 155! 93! 79! 62! 35! 19!	Woohyun Rim
179	1063! 176! 104! 77! 67! 37! / 531! 353! 212! 155! 93! 79! 62! 35! 19! 2!	Woohyun Rim
180	1069! 176! 103! 74! 67! 47! 37! / 530! 357! 212! 156! 99! 82! 62! 46! 34! 3!	Woohyun Rim
181	1087! 180! 103! 73! 67! 42! 21! / 544! 361! 212! 156! 99! 86! 62! 31! 31!	Woohyun Rim
182	1091! 181! 103! 73! 67! 41! 20! / 545! 363! 212! 156! 97! 86! 62! 34! 31!	Woohyun Rim
183	1093! 180! 105! 74! 68! 42! 10! 6! / 546! 359! 212! 155! 97! 86! 62! 39! 33!	Woohyun Rim
184	1097! 181! 103! 71! 67! 41! 21! / 548! 363! 212! 156! 97! 86! 62! 35! 31!	Woohyun Rim
185	1103! 182! 104! 82! 68! 9! / 548! 367! 211! 159! 97! 88! 62! 31!	Woohyun Rim
186	1109! 183! 103! 77! 67! 19! 2! 2! 2! 2! / 554! 367! 212! 157! 97! 86! 63! 34!	Woohyun Rim
187	1117! 183! 112! 82! 76! / 557! 372! 223! 159! 102! 83! 62! 30!	Woohyun Rim
188	1123! 182! 112! 82! 77! 47! / 559! 374! 223! 158! 101! 83! 59! 59! 25! 2!	Woohyun Rim
189	1129! 181! 112! 82! 78! 44! / 563! 373! 223! 158! 101! 83! 60! 59! 25!	Woohyun Rim
190	1151! 190! 114! 73! 58! 20! 5! 5! / 571! 383! 230! 166! 105! 70! 59! 38!	Woohyun Rim
191	1153! 190! 113! 73! 58! 20! 5! 5! / 571! 384! 230! 166! 105! 70! 59! 37!	Woohyun Rim
192	1163! 191! 116! 82! 73! 53! 34! / 581! 383! 231! 163! 104! 92! 69! 62! 38!	Woohyun Rim
193	1171! 192! 116! 82! 71! 48! 44! 33! / 577! 389! 233! 167! 104! 92! 69! 62! 39! 38!	Woohyun Rim
194	1181! 198! 116! 83! 73! 58! 53! 6! 4! / 592! 393! 235! 167! 108! 95! 70! 61! 38! 23!	Woohyun Rim
195	1187! 194! 113! 87! 73! 59! 53! 31! 2! / 593! 393! 237! 172! 107! 95! 70! 61! 37! 37! 7!	Woohyun Rim
196	1193! 198! 116! 88! 73! 55! 55! 12! 5! / 596! 397! 235! 167! 107! 91! 69! 61! 47! 37!	Woohyun Rim
197	1201! 199! 113! 88! 81! 60! 55! 4! 3! 2! / 599! 400! 239! 167! 111! 91! 67! 61! 47! 39!	Woohyun Rim
198	1213! 201! 113! 86! 60! 4! 3! 3! 3! / 604! 408! 250! 178! 112! 71! 47! 19!	Woohyun Rim
199	1217! 202! 113! 88! 59! 11! / 609! 408! 250! 178! 111! 71! 48! 21! 4!	Woohyun Rim
200	1223! 202! 121! 86! 35! 22! 14! 3! / 611! 408! 249! 178! 111! 71! 37! 26! 23!	Woohyun Rim

Problem #3. The best known solutions are shown below.

n	Palindromic Factor	Factorization	Author
1	2	2
2–3	6	2 · 3
4	7	7
5	77	7 · 11
6–7	6006	2 · 3 · 7 · 11 · 13
8–10	969969	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
11	36399363	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 · 31
12–14	1346776431	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 · 31 · 37
15–17	5330660335	5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 31 · 43 · 47	Joe DeVincentis
18–21	5041813181405	5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 29 · 41 · 43 · 61
22–28	74833599533847	3 · 7 · 11 · 29 · 31 · 37 · 43 · 47 · 61 · 79	Joe DeVincentis
29	502073167761370205	5 · 7 · 11 · 13 · 23 · 31 · 41 · 53 · 73 · 79 · 103 · 109	Jon Palin
30–37	5521159517777159511255	3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 29 · 31 · 41 · 71 · 79 · 89 · 101 · 103 · 113	Woohyun Rim
39–40	7826676911771196766287	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 41 · 47 · 53 · 59 · 71 · 73 · 101 · 137 · 163	Woohyun Rim

If you can extend any of these results, please e-mail me. Click here to go back to Math Magic. Last updated 5/16/25.