Problem #1. How can we write P_n as a product of k positive integers as to minimize their sum?

Problem #2. How can we write P_n as a ratio of factorials a₁! ··· a_j! / b₁! ··· b_k! as to minimize the sum Σ a_i + Σ b_i of the numbers used?

Problem #3. What is the largest palindromic factor of P_n?

Problem #1.

The best known solutions are shown below.

n \ k	2	3	4
2	2·3
3	5·6	2·3·5
4	14·15	5·6·7	2·3·5·7
5	42·55	11·14·15	5·6·7·11
6	165·182	26·33·35	11·13·14·15
7	714·715	77·78·85	17·26·33·35
8	3094·3135	209·210·221	38·51·65·77
9	14858·15015	595·598·627	114·115·119·143
10	79534·81345	1771·1885·1938	255·266·299·319 253·273·290·323 (JD)
11	447051·448630	5642·5865·6061 5681·5797·6090 (JD)	663·665·667·682
12	2714690·2733549	19285·19499·19734	1547·1653·1702·1705 1581·1595·1702·1729 (JD)
13	17395070·17490603	65527·67773·68510 66215·66526·69069 (JD)	4123·4147·4182·4255
14	114371070·114388729	235135·235382·236379	10619·10621·10695·10846
15	783152070·785147363	848003·848470·854601	27417·27962·27965·28681
16	5708587335·5708795638	3185331·3191342·3205865	74777·75361·76038·76055
17	43848093003·43850489690	12427387·12436905·12440362	207389·209346·209627·211265 208034·208131·210197·211265 (JD)
18	342444658094·342503171205	48892415·48964209·48993082	582521·584749·585858·587735 583338·583451·586339·587735 (JD)
19	2803119896185·2803419704514	198654665·198867819·198914534	1671461·1672923·1675895·1676914
20	23619540863730·23622001517543	822802210·823456751·823477809	4855051·4859994·4860505·4864937
21	201813981102615·201817933409378 (JD)	3439818590·3440510367·3441538199 (JD)	14177401·14187435·14228357·14231666 (JD)
22	1793779293633437· 1793779635410490 (JP)	14760901545· 14764086722· 14764495937 (JP)	42312479· 42329845· 42371327· 42398538 (JP)
23	16342050964565645· 16342166369958702 (JP)	64395106531· 64396600554· 64402152085 (JP)	127716061· 127815945· 127886317· 127926806 (JP)
24	154170926013430326· 154171363634898185 (JP)	287510512978· 287515496485· 287535325407 (JP)	392579957· 392599190· 392654027· 392752191 (JP)
25	1518409177581024365· 1518410187442699518 (JP)	1321040331310· 1321053487611· 1321117514527 (JP)	1232056113· 1232133266· 1232345405· 1232415943 (JP)
26	15259825120722837478· 15259831781575946565 (JP)	6152118202714· 6152283617385· 6152311036963 (JP)	3905885951· 3906450065· 3906457914· 3906738277 (JP)
27	154870329715038713659· 154870358790203939190 (JP)	28838629412905· 28839046111953· 28839054633794 (JP)	12442617557· 12445176145· 12445467951· 12445504214 (JP)
28	1601991088154989174258· 1601991507050573600715 (JP)	136910623022555· 136911506585854· 136912534109751 (JP)	40020828198· 40024802239· 40026264145· 40027639663 (JP)
29	16725278985898957454695· 16725281357261594271714 (JP)	654006091489961· 654007088607990· 654007237018157 (JP)	129321763571· 129323808095· 129327682403· 129331765218 (JP)
30	177792163538134124432895· 177792170427340904920562 (JP)	3161847646225658· 3161854114512095· 3161858853009549 (JP)	421634654870· 421656389051· 421659275007· 421666019761 (JP)

n \ k	5	6	7
5	2·3·5·7·11
6	5·6·7·11·13	2·3·5·7·11·13
7	11·13·14·15·17	5·6·7·11·13·17	2·3·5·7·11·13·17
8	17·19·26·33·35	11·13·14·15·17·19	5·6·7·11·13·17·19
9	23·38·51·65·77	17·19·23·26·33·35	11·13·14·15·17·19·23
10	58·69·95·119·143	23·29·38·51·65·77	17·19·23·26·29·33·35
11	155·161·174·209·221	31·58·69·95·119·143	23·29·31·38·51·65·77
12	341·370·377·391·399	74·93·145·161·209·221	31·37·58·69·95·119·143
13	715·777·779·782·899	205·217·222·299·319·323	41·74·93·145·161·209·221
14	1547·1653·1702·1705·1763 1581·1595·1702·1729·1763 (JD)	437·465·473·493·518·533	86·123·185·217·299·319·323
15	3478·3553·3565·3731·3741	893·899·903·935·943·962	235·258·287·403·407·437·493
16	7473·7843·8170·8177·8323	1739·1763·1767·1771·1802·1885	583·589·602·611·615·629·667
17	17759·17917·18073·18241·18330	3127·3478·3553·3565·3731·3741	1003·1045·1081·1113·1118·1147·1189 (JP)
18	40579·40687·41287·41366·41595	6601·6837·6919·7163·7198·7285	1769·1829·2014·2021·2035·2091·2093 (JP)
19	93869·94658·95381·96145·96441 (JD)	13601·13674·13981·14335·14467·14573 (JP)	3478·3551·3553·3565·3599·3731·3741 (JP)
20	222547·223138·223445·224147·224331 (JD)	28249·28294·28365·28897·29087·29279 (JP)	4757·6601·6837·6919·7163·7198·7285 (JP)
21	524117· 526870· 527137· 528027· 529907 (JP)	57523· 58007· 58327· 58830· 59059· 60233 (JP)	10366· 12261· 12341· 12455· 12617· 12673· 13039 (JP)
22	1255990· 1260181· 1266449· 1266769· 1267167 (JP)	120734· 120745· 121107· 121481· 121693· 123281 (JP)	22265· 22578· 22607· 22673· 22847· 23069· 23693 (JP)
23	3051381· 3056053· 3056510· 3059297· 3062749 (JP)	252343· 253394· 253399· 254301· 254405· 254771 (JP)	42107· 42143· 42911· 43070· 43239· 43301· 43493 (JP)
24	7489873· 7495631· 7497805· 7508002· 7520817 (JP)	533281· 535866· 536015· 536129· 536731· 539251 (JP)	80934· 81055· 81257· 81437· 81673· 81833· 81923 (JP)
25	18706015· 18709243· 18740819· 18741701· 18756114 (JP)	1144891· 1147715· 1148581· 1149969· 1152346· 1152787 (JP)	154919· 155701· 156655· 156907· 156953· 156981· 157826 (JP)
26	47097337· 47116949· 47137515· 47162758· 47201947 (JP)	2469955· 2475149· 2477261· 2479711· 2488838· 2491377 (JP)	301701· 301903· 302105· 302731· 302867· 303707· 303902 (JP)
27	119048682· 119102533· 119112805· 119165147· 119174471 (JP)	5363547· 5364973· 5369045· 5370829· 5375422· 5377321 (JP)	583573· 585466· 586339· 586993· 587735· 588729· 589469 (JP)
28	303209555· 303225937· 303295031· 303346742· 303393621 (JP)	11689139· 11693443· 11693487· 11701355· 11703826· 11724311 (JP)	1139467· 1140005· 1144891· 1145443· 1145542· 1146251· 1147317 (JP)
29	774767161· 774992291· 775159495· 775200578· 775305843 (JP)	25557485· 25559933· 25571431· 25574494· 25586333· 25591683 (JP)	2230709· 2233579· 2235937· 2236645· 2236926· 2238751· 2241757 (JP)
30	1994810095· 1994903339· 1995040999· 1995110259· 1995644158 (JP)	56197006· 56203997· 56225113· 56232605· 56244959· 56278527 (JP)	4386238· 4387795· 4389569· 4391783· 4396717· 4397379· 4406579 (JP)

Problem #2.

The best known solutions are shown below.

n	Ratio	Author
1	2!
2	3!
3	5! / 2! 2!
4	7! / 4!
5	11! / 6! 4!
6	13! / 6! 4! 3! 2!
7	17! / 8! 6! 4!
8	19! / 9! 6! 4! 2!
9	23! / 12! 8! 3!	Joe DeVincentis
10	29! / 14! 10! 6! 3! 29! / 15! 9! 5! 4!	Joe DeVincentis
11	31! / 15! 9! 6! 5!	Joe DeVincentis
12	37! / 18! 11! 10! 2!	Joe DeVincentis
13	41! / 20! 13! 10! 2!	Jon Palin
14	43! / 21! 16! 6! 3!	Jon Palin
15	47! / 27! 12! 8! 2!	Jon Palin
16	53! / 28! 17! 7! 5! 2!	Jon Palin
17	59! / 29! 22! 10! 2!	Jon Palin
18	61! / 29! 22! 10! 5!	Jon Palin
19	67! / 31! 22! 16! 4!	Jon Palin
20	71! / 35! 28! 8! 3! 2!	Jon Palin
21	73! / 36! 28! 8! 4!	Jon Palin
22	79! / 39! 25! 14! 7! 2!	Jon Palin
23	83! / 42! 28! 12! 6!	Jon Palin
24	89! 13! / 44! 30! 18! 12! 2!	Woohyun Rim
25	97! / 47! 32! 19! 7!	Alex Rower
26	101! 3! 2! / 49! 31! 22! 6! 5!	Alex Rower
27	103! / 47! 35! 21! 7! 3!	Alex Rower
28	107! 6! 2! / 53! 31! 19! 11! 8!	Alex Rower
29	109! 5! / 53! 31! 19! 12! 7! 3!	Alex Rower
30	113! 3! / 54! 38! 14! 11! 7! 2!	Alex Rower
31	128! 29! 20! / 61! 41! 31! 23! 17! 11! 8!	Alex Rower
32	131! 29! 19! / 61! 43! 31! 23! 17! 13! 5!	Alex Rower
33	137! 13! 8! 2! 2! / 67! 43! 23! 17! 11! 5! 5! 3!	Alex Rower
34	140! 13! 2! 2! / 67! 46! 25! 17! 7! 3!	Alex Rower
35	150! 33! 24! 18! 9! 3! 3! 2! / 73! 47! 37! 29! 13! 11! 11! 8! 7!	Alex Rower
36	151! 31! 24! 18! 2! / 73! 50! 37! 30! 22! 13! 5! 3!	Alex Rower
37	157! 24! 9! 6! 4! 3! 2! / 73! 47! 38! 19! 14! 11! 7! 5!	Alex Rower
38	163! 13! 5! 2! / 79! 55! 32! 12! 9!	Alex Rower
39	167! 13! 6! / 83! 55! 33! 11! 8!	Alex Rower
40	173! 42! 6! 2! / 83! 53! 44! 31! 19!	Alex Rower

Problem #3. The best known solutions are shown below.

n	Palindromic Factor	Factorization	Author
1	2	2
2–3	6	2 · 3
4	7	7
5	77	7 · 11
6–7	6006	2 · 3 · 7 · 11 · 13
8–10	969969	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
11	36399363	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 · 31
12–14	1346776431	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 · 31 · 37
15–17	5330660335	5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 31 · 43 · 47	Joe DeVincentis
18–21	5041813181405	5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 29 · 41 · 43 · 61
22–28	74833599533847	3 · 7 · 11 · 29 · 31 · 37 · 43 · 47 · 61 · 79	Joe DeVincentis
29	502073167761370205	5 · 7 · 11 · 13 · 23 · 31 · 41 · 53 · 73 · 79 · 103 · 109	Jon Palin
30–37	5521159517777159511255	3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 29 · 31 · 41 · 71 · 79 · 89 · 101 · 103 · 113	Woohyun Rim
39–30	7826676911771196766287	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 41 · 47 · 53 · 59 · 71 · 73 · 101 · 137 · 163	Woohyun Rim

If you can extend any of these results, please e-mail me. Click here to go back to Math Magic. Last updated 3/1/18.