Problem of the Month (October 2016)

For what values of m and n are there configurations of i-ominoes and j-ominoes on the grid so that every i-omino touches polyominoes with total area m, and each j-omino touches polyominoes with total area n? What are the smallest such configurations?

ANSWERS

Solutions were received from Joe DeVincentis, George Sicherman, and Maurizio Morandi.

Areas 1 and 2

m \ n	3	4	5	6	7	8
2						(MM)
3			(GS)			(MM)
4					(MM)	(MM)
5		(GS)		(MM)	?	?
6	(MM)			(MM)	?	?
7		?		(MM)	?	?
8

Areas 1 and 3

m \ n	2	3	4	5	6
3
4
5				(GS)
6					(GS)
7		(GS)			(GS)
8		?			?
9		?			?
10	(MM)		(GS)
12

m \ n 8 9 10 11 12 13
3
4
(MM)
(MM)
(JD)
5 ?
(MM) ? ?
(MM) ?
6
(MM)
(MM)
(MM)
7
(GS)
(MM)
(MM) ? ? ?
8 ? ? ?
(MM) ?
9 ? ? ? ?
10 ? ? ? ? ? ?
12
(MM) ?

m \ n	8	9	10	11	12	13
3
4			(MM)	(MM)		(JD)
5	?	(MM)	?	?	(MM)	?
6	(MM)		(MM)		(MM)
7	(GS)	(MM)	(MM)	?	?	?
8		?	?	?	(MM)	?
9		?		?	?	?
10	?	?	?	?	?	?
12			(MM)			?

Areas 2 and 3

m \ n	2	4	5	6	7	8	9	10
3
5								(MM)
6
7
8								(MM)
9		(MM)			(MM)			(MM)
10	(GS)			(MM)	(GS)		(GS)
11		(GS)			(GS)		(MM)	(MM)
12		(MM)			(MM)		?	(MM)
13		?	?	?	?		?	(MM)
14		?		?	?		?	?
15			(MM)	?	?		?	?
16						?	?	?
17								?
18			(MM)					?

m \ n 11 12 13 14 15 16 17
3 ? ?
(MM) ? ?
5
(MM)
(MM) ? ?
6
(GS)
(MM) ? ? ?
7
8
(MM)
(MM) ? ? ? ?
9
(MM)
(MM) ? ? ? ? ?
10 ? ? ? ? ? ? ?
11 ? ? ? ? ? ? ?
12
(MM) ? ? ? ? ? ?
13 ? ? ? ? ? ? ?
14 ? ? ? ? ? ? ?
15 ? ? ? ? ? ? ?
16 ? ? ? ? ? ? ?
17 ? ? ? ? ? ? ?
18 ? ? ? ? ? ? ?

m \ n	11	12	13	14	15	16	17
3			?	?	(MM)	?	?
5				(MM)	(MM)	?	?
6			(GS)	(MM)	?	?	?
7
8		(MM)	(MM)	?	?	?	?
9	(MM)	(MM)	?	?	?	?	?
10	?	?	?	?	?	?	?
11	?	?	?	?	?	?	?
12	(MM)	?	?	?	?	?	?
13	?	?	?	?	?	?	?
14	?	?	?	?	?	?	?
15	?	?	?	?	?	?	?
16	?	?	?	?	?	?	?
17	?	?	?	?	?	?	?
18	?	?	?	?	?	?	?

Areas 1 and 4

m \ n	2	3	4	6	7	8	10
4							(GS)
5				(MM)		(MM)
6					(MM)	(GS)
8			(GS)		(MM)	(MM)
9						(MM)
10					?	(MM)
12		?	?	(GS)	?	?
13	(MM)			(MM)	?	?	(MM)
16							(MM)

m \ n 11 12 13 14 15 16 17 18 20
4
(MM) ?
(MM)
5
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
6 ?
(MM) ? ? ?
(MM) ? ? ?
8
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) ?
9 ?
(MM)
(GS)
(MM) ?
(MM) ? ? ?
10 ?
(MM) ?
(MM) ?
(MM) ? ? ?
12 ? ?
(MM) ? ?
(MM) ? ?
13 ? ?
(MM) ? ? ? ? ? ?
16
(MM) ? ? ?

m \ n	11	12	13	14	15	16	17	18	20
4					(MM)			?	(MM)
5				(MM)	(GS)			(MM)	(MM)
6	?	(MM)	?	?	?	(MM)	?	?	?
8		(GS)				(MM)	(MM)	(MM)	?
9	?	(MM)	(GS)	(MM)	?	(MM)	?	?	?
10	?	(MM)	?	(MM)	?	(MM)	?	?	?
12	?	?		(MM)	?	?	(MM)	?	?
13	?	?	(MM)	?	?	?	?	?	?
16				(MM)			?	?	?

Areas 2 and 4

m \ n	4	8	10	12
4
6
8			(MM)
10
12
14	(GS)	(MM)		(MM)
16		(MM)		(MM)
18		?		?
20		?		?
22				?
24				?

m \ n 14 16 18 20 22
4
(MM)
(MM)
(MM) ?
6 ?
8
10
(MM)
(GS) ?
(MM) ?
12
(MM)
(MM)
(MM) ? ?
14
(MM) ? ? ? ?
16
(MM)
(MM) ? ? ?
18 ? ? ? ? ?
20
(MM) ? ? ? ?
22 ? ? ? ? ?
24
(MM) ? ? ? ?

m \ n	14	16	18	20	22
4		(MM)	(MM)	(MM)	?
6					?
8
10	(MM)	(GS)	?	(MM)	?
12	(MM)	(MM)	(MM)	?	?
14	(MM)	?	?	?	?
16	(MM)	(MM)	?	?	?
18	?	?	?	?	?
20	(MM)	?	?	?	?
22	?	?	?	?	?
24	(MM)	?	?	?	?

Areas 3 and 4

m \ n	3	6	7	9	10
4
7
8				(MM)
10
11
12
13			(MM)	(MM)	(MM)
14
15		(GS)			(MM)
16		(GS)		(MM)
17	?		?	?
18	?		(MM)	(MM)
19		(GS)		?	(GS)
20		?	(MM)	?	?
21		?	?	?	?
22		?	?	?	?
23		?		?	?
24		?		?	?
25		?	?	?	?
26		?	?	?	?
27		?	?	?	?
28		?	(MM)	?	?
29		?	?	?	?
30					?
31
32

m \ n 11 12 13 14 15
4
7
8
10
11
(MM)
12 ?
(GS)
(GS)
13
(MM)
(MM) ? ?
14
(MM)
15 ?
(MM)
16 ? ?
17
(MM) ? ?
(MM) ?
18 ?
(MM)
(MM) ?
19 ? ?
(MM) ?
20 ? ?
(MM)
(MM)
21 ? ? ? ? ?
22 ? ? ?
23 ? ? ? ?
24 ? ? ?
(MM)
25 ? ? ? ? ?
26 ? ? ? ? ?
27 ? ? ? ?
28 ? ? ? ?
29 ? ? ? ? ?
30 ? ? ? ? ?
31 ?
32 ?

m \ n 16 17 18 19 20
4
(MM)
7
8
(GS)
(MM)
10
11
(GS)
(MM)
(MM)
12 ?
(MM) ?
(MM) ?
13 ? ? ? ? ?
14
(MM)
(MM)
(MM) ?
(MM)
15 ?
(MM) ? ? ?
16 ? ? ?
(MM) ?
17 ? ? ? ? ?
18 ?
(MM) ? ? ?
19 ? ?
(MM) ? ?
20 ? ? ?
(MM) ?
21 ? ? ? ? ?
22 ? ? ? ? ?
23 ? ? ? ? ?
24 ? ? ? ? ?
25 ? ? ? ? ?
26 ? ? ? ? ?
27 ? ? ? ? ?
28 ? ? ? ? ?
29 ? ? ? ? ?
30 ? ? ? ? ?
31 ?
32 ?

m \ n	16	17	18	19	20
4					(MM)
7
8		(GS)	(MM)
10
11		(GS)	(MM)	(MM)
12	?	(MM)	?	(MM)	?
13	?	?	?	?	?
14	(MM)	(MM)	(MM)	?	(MM)
15	?	(MM)	?	?	?
16	?	?	?	(MM)	?
17	?	?	?	?	?
18	?	(MM)	?	?	?
19	?	?	(MM)	?	?
20	?	?	?	(MM)	?
21	?	?	?	?	?
22	?	?	?	?	?
23	?	?	?	?	?
24	?	?	?	?	?
25	?	?	?	?	?
26	?	?	?	?	?
27	?	?	?	?	?
28	?	?	?	?	?
29	?	?	?	?	?
30	?	?	?	?	?
31				?
32				?

m \ n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7
(GS)
(GS) ?
(GS) ? ? ? ? ? ? ?
8 ?
(MM) ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10
(MM) ?
11 ?
(MM) ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14 ?
(MM) ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
17 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
18 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
19 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
23 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
24 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
26 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
27 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
28 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
29 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
30 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
31 ? ? ?
32 ? ? ?

m \ n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
4	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
7	(GS)	(GS)	?	(GS)	?	?	?	?	?	?	?
8	?	(MM)	?	?	?	?	?	?	?	?	?
10						(MM)			?
11	?	(MM)	?	?	?	?	?	?	?	?	?
12	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
13	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
14	?	(MM)	?	?	?	?	?	?	?	?	?
15	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
16	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
17	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
18	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
19	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
20	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
21	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
22	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
23	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
24	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
25	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
26	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
27	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
28	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
29	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
30	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
31			?				?				?
32			?				?				?

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