Problem of the Month (December 2000)

Consider the following identities:

4³ = 2⁶ ^. 1⁵

8⁵ ^. 1⁷ = 2³ ^. 4⁶

2⁷ ^. 4³ ^. 9⁵ = 6¹⁰ ^. 8¹

Each contains the first few integers exactly once, and only products of the form a^b are allowed. Can this always be done with the numbers from 1 to 2n (for n≥3)? How many solutions are there?

ANSWERS

Here are solutions for small n:

n Equation Author
3 4³ = 2⁶ ^. 1⁵
4 8⁵ ^. 1⁷ = 2³ ^. 4⁶
5 2⁷ ^. 4³ ^. 9⁵ = 6¹⁰ ^. 8¹
6 12⁷ ^. 3¹⁰ = 6⁷ ^. 8¹ ^. 2⁴ ^. 9⁵
7 1² ^. 8¹³ ^. 9¹⁴ = 12¹¹ ^. 6⁷ ^. 3¹⁰ ^. 4⁵
8 15¹³ ^. 3¹¹ ^. 4⁸ ^. 16¹ = 2¹⁴ ^. 9¹² ^. 5⁷ ^. 10⁶ Philippe Fondanaiche
9 1⁸ ^. 4¹³ ^. 18⁷ ^. 15¹⁷ = 5⁶ ^. 10¹¹ ^. 9¹⁴ ^. 12³ ^. 2¹⁶
10 1¹⁴ ^. 3¹¹ ^. 5¹³ ^. 6¹² ^. 8¹⁹ ^. 9² ^. 15⁷ = 10²⁰ ^. 18¹⁷ ^. 4¹⁶ Brendan Owen
11 14²² ^. 3¹⁶ ^. 15¹³ ^. 8¹¹ ^. 10⁶ = 20¹⁹ ^. 7¹⁷ ^.18¹² ^. 2⁹ ^. 21⁵ ^. 4¹ Philippe Fondanaiche
12 14²⁴ ^. 15²² ^. 10¹⁹ ^. 8¹⁶ ^. 3⁶ = 20²³ ^. 5¹⁸ ^. 12¹⁷ ^. 7¹³ ^. 21¹¹ ^. 2⁹ ^. 4¹ Philippe Fondanaiche
13 1¹⁸ ^. 2¹¹ ^. 3¹² ^. 9¹⁴ ^. 16¹³ ^. 20²² ^. 25²⁴ = 4⁷ ^. 5²⁶ ^. 6¹⁹ ^. 8¹⁷ ^. 10²³ ^. 15²¹ Tom Sundquist
14 1¹² ^. 3¹⁷ ^. 16¹⁸ ^. 20²¹ ^. 25²⁶ ^. 27¹⁹ = 2¹⁴ ^. 4⁷ ^. 5²² ^. 6²⁴ ^. 8¹³ ^. 9¹¹ ^. 10²³ ^. 15²⁸ Tom Sundquist
15 1⁷ ^. 3²¹ ^. 4¹¹ ^. 5²⁹ ^. 8¹⁷ ^. 9²² ^. 15²⁸ ^. 20²⁶ = 2¹⁴ ^. 6¹² ^. 10²³ ^. 16¹³ ^. 25¹⁸ ^. 27¹⁹ ^. 30²⁴ Tom Sundquist
16 4⁷ ^. 5²⁸ ^. 6³¹ ^. 8¹⁷ ^. 25¹⁴ ^. 27¹⁹ ^. 30² ^. 32²³ = 9²² ^. 10¹¹ ^. 12¹ ^. 15²⁶ ^. 16²⁹ ^. 18³ ^. 20²¹ ^. 24¹³
17 3²² ^. 4⁷ ^. 5¹¹ ^. 6²⁸ ^. 8²³ ^. 25¹ ^. 27²¹ ^. 30³³ ^. 32²⁶ = 9¹⁴ ^. 10³¹ ^. 12²⁹ ^. 15² ^. 16¹⁷ ^. 18³⁴ ^. 20¹³ ^. 24¹⁹
18 16⁶ ^. 28²⁵ ^. 22²⁷ ^. 20¹⁷ ^. 4³¹ ^. 5⁸ ^. 33² ^. 30¹⁸ ^. 36¹⁹ = 15²⁶ ^. 10¹⁴ ^. 24²³ ^. 32³⁴ ^. 1¹² ^. 7¹³ ^. 11²⁹ ^. 35³ ^. 21⁹ Marc Lapierre
19 2³⁷ ^. 3⁷ ^. 4³³ ^. 5¹ ^. 6²⁸ ^. 25²³ ^. 27¹³ ^. 30³⁴ ^. 32²² ^. 36³¹ = 8¹¹ ^. 9²¹ ^. 10³⁸ ^. 12³⁵ ^. 15²⁶ ^. 16¹⁴ ^. 18¹⁹ ^. 20¹⁷ ^. 24²⁹
20 4¹⁶ ^. 18⁵ ^. 9³ ^. 20¹⁹ ^.15³⁶ ^. 35²⁷ ^. 14³⁷ ^. 22³¹ ^. 33⁷ ^.13⁴⁰ = 1⁶ ^. 32⁴ ^. 12⁸ ^. 25²⁹ ^.10²⁴ ^. 28³⁰ ^. 21³⁴ ^. 11³⁸ ^. 26²³ ^. 39¹⁷ Philippe Fondanaiche
21 1³⁴ ^. 2³³ ^. 3²² ^. 4¹⁹ ^. 5³⁵ ^. 6³⁹ ^. 27⁷ ^. 30²⁸ ^. 32³¹ ^. 36³⁷ ^. 40²⁶ = 8⁴¹ ^. 9¹⁷ ^. 10²³ ^. 12⁴² ^. 15¹¹ ^. 16¹⁴ ^. 18³⁸ ^. 20²⁹ ^. 24²¹ ^. 25¹³
22 1¹¹ ^. 5²⁴ ^. 7⁴⁴ ^. 8¹² ^. 20³¹ ^. 21³⁸ ^. 25²⁶ ^. 27²² ^. 28³⁹ ^. 30³⁴ ^. 32¹⁷ = 2¹³ ^. 3¹⁹ ^. 4⁶ ^. 9²³ ^. 10³³ ^. 14⁴¹ ^. 15³⁶ ^. 16¹⁸ ^. 35⁴³ ^. 40²⁹ ^. 42³⁷ Tom Sundquist

n	Equation	Author
3	4³ = 2⁶ ^. 1⁵
4	8⁵ ^. 1⁷ = 2³ ^. 4⁶
5	2⁷ ^. 4³ ^. 9⁵ = 6¹⁰ ^. 8¹
6	12⁷ ^. 3¹⁰ = 6⁷ ^. 8¹ ^. 2⁴ ^. 9⁵
7	1² ^. 8¹³ ^. 9¹⁴ = 12¹¹ ^. 6⁷ ^. 3¹⁰ ^. 4⁵
8	15¹³ ^. 3¹¹ ^. 4⁸ ^. 16¹ = 2¹⁴ ^. 9¹² ^. 5⁷ ^. 10⁶	Philippe Fondanaiche
9	1⁸ ^. 4¹³ ^. 18⁷ ^. 15¹⁷ = 5⁶ ^. 10¹¹ ^. 9¹⁴ ^. 12³ ^. 2¹⁶
10	1¹⁴ ^. 3¹¹ ^. 5¹³ ^. 6¹² ^. 8¹⁹ ^. 9² ^. 15⁷ = 10²⁰ ^. 18¹⁷ ^. 4¹⁶	Brendan Owen
11	14²² ^. 3¹⁶ ^. 15¹³ ^. 8¹¹ ^. 10⁶ = 20¹⁹ ^. 7¹⁷ ^.18¹² ^. 2⁹ ^. 21⁵ ^. 4¹	Philippe Fondanaiche
12	14²⁴ ^. 15²² ^. 10¹⁹ ^. 8¹⁶ ^. 3⁶ = 20²³ ^. 5¹⁸ ^. 12¹⁷ ^. 7¹³ ^. 21¹¹ ^. 2⁹ ^. 4¹	Philippe Fondanaiche
13	1¹⁸ ^. 2¹¹ ^. 3¹² ^. 9¹⁴ ^. 16¹³ ^. 20²² ^. 25²⁴ = 4⁷ ^. 5²⁶ ^. 6¹⁹ ^. 8¹⁷ ^. 10²³ ^. 15²¹	Tom Sundquist
14	1¹² ^. 3¹⁷ ^. 16¹⁸ ^. 20²¹ ^. 25²⁶ ^. 27¹⁹ = 2¹⁴ ^. 4⁷ ^. 5²² ^. 6²⁴ ^. 8¹³ ^. 9¹¹ ^. 10²³ ^. 15²⁸	Tom Sundquist
15	1⁷ ^. 3²¹ ^. 4¹¹ ^. 5²⁹ ^. 8¹⁷ ^. 9²² ^. 15²⁸ ^. 20²⁶ = 2¹⁴ ^. 6¹² ^. 10²³ ^. 16¹³ ^. 25¹⁸ ^. 27¹⁹ ^. 30²⁴	Tom Sundquist
16	4⁷ ^. 5²⁸ ^. 6³¹ ^. 8¹⁷ ^. 25¹⁴ ^. 27¹⁹ ^. 30² ^. 32²³ = 9²² ^. 10¹¹ ^. 12¹ ^. 15²⁶ ^. 16²⁹ ^. 18³ ^. 20²¹ ^. 24¹³
17	3²² ^. 4⁷ ^. 5¹¹ ^. 6²⁸ ^. 8²³ ^. 25¹ ^. 27²¹ ^. 30³³ ^. 32²⁶ = 9¹⁴ ^. 10³¹ ^. 12²⁹ ^. 15² ^. 16¹⁷ ^. 18³⁴ ^. 20¹³ ^. 24¹⁹
18	16⁶ ^. 28²⁵ ^. 22²⁷ ^. 20¹⁷ ^. 4³¹ ^. 5⁸ ^. 33² ^. 30¹⁸ ^. 36¹⁹ = 15²⁶ ^. 10¹⁴ ^. 24²³ ^. 32³⁴ ^. 1¹² ^. 7¹³ ^. 11²⁹ ^. 35³ ^. 21⁹	Marc Lapierre
19	2³⁷ ^. 3⁷ ^. 4³³ ^. 5¹ ^. 6²⁸ ^. 25²³ ^. 27¹³ ^. 30³⁴ ^. 32²² ^. 36³¹ = 8¹¹ ^. 9²¹ ^. 10³⁸ ^. 12³⁵ ^. 15²⁶ ^. 16¹⁴ ^. 18¹⁹ ^. 20¹⁷ ^. 24²⁹
20	4¹⁶ ^. 18⁵ ^. 9³ ^. 20¹⁹ ^.15³⁶ ^. 35²⁷ ^. 14³⁷ ^. 22³¹ ^. 33⁷ ^.13⁴⁰ = 1⁶ ^. 32⁴ ^. 12⁸ ^. 25²⁹ ^.10²⁴ ^. 28³⁰ ^. 21³⁴ ^. 11³⁸ ^. 26²³ ^. 39¹⁷	Philippe Fondanaiche
21	1³⁴ ^. 2³³ ^. 3²² ^. 4¹⁹ ^. 5³⁵ ^. 6³⁹ ^. 27⁷ ^. 30²⁸ ^. 32³¹ ^. 36³⁷ ^. 40²⁶ = 8⁴¹ ^. 9¹⁷ ^. 10²³ ^. 12⁴² ^. 15¹¹ ^. 16¹⁴ ^. 18³⁸ ^. 20²⁹ ^. 24²¹ ^. 25¹³
22	1¹¹ ^. 5²⁴ ^. 7⁴⁴ ^. 8¹² ^. 20³¹ ^. 21³⁸ ^. 25²⁶ ^. 27²² ^. 28³⁹ ^. 30³⁴ ^. 32¹⁷ = 2¹³ ^. 3¹⁹ ^. 4⁶ ^. 9²³ ^. 10³³ ^. 14⁴¹ ^. 15³⁶ ^. 16¹⁸ ^. 35⁴³ ^. 40²⁹ ^. 42³⁷	Tom Sundquist

John Hoffman wrote a JAVA program to count the number of solutions. Here are his results:

n	3	4	5	6	7	8	9
Number of Solutions	2	4	4	154	428	11938	173476

If you can extend any of these results, please e-mail me. Click here to go back to Math Magic. Last updated 12/14/00.