Problem of the Month (May 2019)

In October 2016, we asked for the smallest configurations of i-ominoes and j-ominoes on the grid so that every i-omino touches polyominoes with total area a, and each j-omino touches polyominoes with total area b. This month we ask the same for 3 different areas. What are the smallest configurations of 1-, 2-, and 3-ominoes touching total areas a, b, and c respectively?

ANSWERS

Solutions were received from Maurizio Morandi, Joe DeVincentis, George Sicherman, and Alexey Nigin.

a=2
b \ c24567891011121314151617
4 ? ?
(MM) 		? ?
5
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ?
6
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ?
7
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS) 		? ?
9
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
10
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
11
(JD)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ?
12
(JD)
(JD)
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ? ?
13
(JD)
(JD) 		?
(JD)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ? ?
14
(JD)
(JD) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ? ?
15
(JD)
(JD)
(JD)
(JD) 		? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16
(JD)
(JD)
(JD) 		? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

a=3
b \ c234567891011121314151617
3
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
4
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS) 		? ?
(MM) 		? ?
5
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ?
6
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM) 		? ?
7
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		?
(MM) 		?
9
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ?
10
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
11
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ?
12 ?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
13 ? ?
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
14 ? ?
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
15
(AN)
(AN) 		?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
16
(AN)
(AN) 		?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)
(AN)
(AN) 		? ?
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)
(AN)
(AN)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?

a=4
b \ c1234567891011121314151617
1
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
2
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
3
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ?
4
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ?
(MM) 		? ?
5
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ?
6
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ?
7
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		?
9 ?
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		?
(MM) 		?
10 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM) 		?
(MM) 		? ? ?
11 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
12 ? ?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ? ?
13
(AN) 		? ?
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
14
(AN) 		? ?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
15
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
16
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)
(AN)
(AN)
(AN) 		? ?
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)
(AN)
(AN)
(AN)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?

a=5
b \ c1234567891011121314151617
1
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		?
(MM) 		? ? ? ? ?
2
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
3
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
4
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ?
(MM) 		? ?
5
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM) 		?
(MM) 		? ?
6
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM) 		? ?
7
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8 ?
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ?
9 ?
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS) 		? ?
(GS) 		? ? ?
10 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
11 ?
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ? ? ?
12 ? ?
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ?
13
(AN) 		? ? ?
(GS)
(MM) 		?
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ? ? ?
14
(AN) 		? ? ?
(MM)
(MM) 		?
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ? ?

a=6
b \ c1234567891011121314151617
1
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
2
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
3
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS) 		? ? ? ?
4
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		?
(MM) 		? ?
5
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS) 		?
(MM) 		? ?
6
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM) 		?
(MM) 		? ?
7 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8 ?
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS) 		? ? ? ? ? ?
9 ?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ?
10 ?
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(GS) 		? ? ? ? ? ?
11 ?
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
12 ? ?
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
13
(AN) 		?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
14
(AN) 		? ?
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ? ?
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ?
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)
(AN)
(AN)
(AN)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?

a=7
b \ c123456789101112131415
1
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS) 		? ? ? ? ? ?
2
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
3
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ?
4
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS) 		? ?
5
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
6
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM) 		?
7 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8 ?
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS) 		? ? ?
9 ?
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ?
10 ?
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
11 ? ? ?
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
12 ? ? ?
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
13
(AN) 		? ? ?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
14
(AN) 		? ? ?
(MM)
(MM) 		?
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
15
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?

a=8
b \ c12345678910111213141516
1
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS) 		? ? ? ? ? ?
2
(GS)
(GS) 		?
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ? ? ?
3
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM) 		? ? ?
4
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ?
5
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		?
6
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		?
(GS) 		? ?
7 ?
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
9 ?
(GS)
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
10 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ? ?
11 ?
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
12 ? ?
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ? ?
13
(AN) 		? ? ?
(MM)
(GS) 		?
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
14
(AN) 		?
(GS) 		?
(MM)
(MM) 		?
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ? ?

a=9
b \ c123456789101112131415
1
(MM)
(MM)
(MM)
(GS) 		?
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
2
(GS) 		?
(MM)
(MM) 		?
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ? ? ?
3
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ?
4
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS) 		? ? ? ? ?
5
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ?
6 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ?
7 ?
(MM)
(GS)
(GS)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
8 ?
(MM)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ?
9 ? ?
(MM)
(GS)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ?
10 ?
(MM) 		?
(GS)
(MM)
(MM)
(GS)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
11 ? ? ?
(MM)
(MM) 		?
(MM)
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
12 ? ? ?
(GS)
(MM) 		?
(GS)
(GS) 		? ? ? ? ? ? ?
13
(AN) 		? ? ? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
14
(AN) 		? ? ? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)
(AN)
(AN) 		?
(MM) 		? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)
(AN)
(AN) 		? ? ? ?
(MM) 		? ? ? ? ? ? ?

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